《这篇文章适合五年级及以上的学生及学生家长，小学教师，中学老师； 任何童心未泯的老儿童，青壮年， 以及任何一位希望重学一遍初等数学的数学教育者。本文最后论述的幂运算公式可能要初二以上的学生才能领悟》
学习了一点诸子数学的孩子和家长可能注意到了：尽管诸子数学的代数入门进展很快，但似乎它忽略了一些基本的数学概念。比如有些孩子们都会在有理数域里解一些一元二次方程了，可是到现在朱教授都没提一些几何形状的公式。尤其还没讲长方形的面积公式。
我们回顾一下全世界的孩子们大概是怎么学习长方形的面积的。首先我们定义一个边长为一个单位（你可以选个单位，譬如，米或公理）的正方形的面积为1个平方单位（譬如平方米或平方公理）。然后我们来“数”一个长方形的面积。是的，长方形的面积一开始是数出来的。
长方形的面积是数出来的
上图中我们很容易数出左边的长方形有21个小正方形在里面，所以它的面积就是21个平方单位。右边的长方形的宽为1.5，是左边的一半，所以我们也可以数出来它的面积是左边长方形的一半：10. 5个平方单位。我们因此可以说：假如我们能数出一个长方形的长度L和宽度W, 我们就可以数出这个长方形的面积A=LW。
这是一个美妙的公式。几乎没有哪个在中国上完四年级的孩子不知道这个公式。长方形的面积公式有时也被用来帮助学生形象地理解乘法的交换律：把一个长方形转90°，它的长变成宽，宽变成长，面积却不变：A=WL。所以LW=WL。
也别忽视长方形面积的政治意义。它表明：数学是有应用的！这里我来讲一个亲身经历。
有一次我同一名非裔(African American)的工人聊天，问他铺一个房间要大致多少面积的地板。他说不知道。我以为他还没量房间的长宽，便拿起尺子准备去量。
“我已经量过了，长4米，宽3米”，那个工人告诉我说。
“那你还不知道面积？” 我有点诧异。
“我怎么知道面积？老板去买的材料，他知道。”工人非常诚恳地说。
那为什么我们迟迟没讲面积公式呢？原因并不复杂。当长方形的长和宽可以用自然数和分数数出来，大家在学校或者家里或多或少都学了计算它的面积 （别问我为什么上面提的工人不知道，也别问我为什么有那么多美国人在现在这个世纪大瘟疫中不戴口罩，更别问我谁在美国做教育部长）。即使还没学，你看了上面的文字估计也会了。
这里要说的是：假如长方形的长或宽不是能用自然数或更一般的分数数出来的，这个面积公式还对吗？ 要回答这个问题， 我们首先要说明有这样的非“有理数”的数，习惯上我们称之为“无理数”。这样的数在大家学习了根式后就会接触到。那么长方形的长L或宽W是无理数时, 面积公式A=LW还对吗？答案是：还对！ 哪为什么？这要用到下面的假设。
《初等数学基本假设》：假如一个代数运算或公式对所有的有理数成立，那么这个代数运算或公式对所有的实数都成立。
我们再举一个例子来说明初等数学的基本假设如何帮助我们建立幂运算的一般法则。
初等数学的基本假设帮助我们建立幂运算的一般法则
你要问：当p和q是复数的话上面三个法则还对吗？那你要问问自己懂得比如这个数：2的i次方（i是虚数的i)，是什么意思吗？你懂这个意思，那就能知道问题的答案了。否则，跟我们一起来学学诸子数学代数入门吧。
